Question

已知函數(shù)f（x）=x³+mx²-m²x+1（m為常數(shù)，且m＞0）有極大值9．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若斜率為-5的直線是曲線y=f（x）的切線，求此直線方程．

Answer 1

分析：（I）求出導(dǎo)函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)等于0的兩個根，列出x，f′（x），f（x）的變化情況的表格，求出極大值，列出方程求出m的值．
（II）將（I）求出的m的值代入導(dǎo)函數(shù)，利用曲線在切點處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率，令導(dǎo)數(shù)等于-5，求出x即切點橫坐標，將橫坐標代入f（x）求出切點坐標，利用直線方程的點斜式寫出切線方程．

解答：解：（Ⅰ）f’（x）=3x²+2mx-m²=（x+m）（3x-m）=0，則x=-m或x=

1

3

m，
當(dāng)x變化時，f’（x）與f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-m）	-m	（-m， 1 3 m）	1 3 m	（ 1 3 m，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

從而可知，當(dāng)x=-m時，函數(shù)f（x）取得極大值9，
即f（-m）=-m³+m³+m³+1=9，∴m=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x³+2x²-4x+1，
依題意知f’（x）=3x²+4x-4=-5，∴x=-1或x=-

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3

．
又f（-1）=6，f（-

1

3

）=

68

27

，
所以切線方程為y-6=-5（x+1），或y-

68

27

=-5（x+

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3

），
即5x+y-1=0，或135x+27y-23=0．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值的步驟：求出導(dǎo)數(shù)；令導(dǎo)數(shù)為0求出根；列出表格判斷根左右兩邊導(dǎo)函數(shù)的符號；求出極值．考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)在切點處的值是曲線的切線斜率．