Question

設f（x）在定義域A上是單調遞減函數(shù)，又F（x）=a^f（x）（a＞0），當f（x）＞0時，F(xiàn)（x）＞1．
求證：（1）f（x）＜0時，F(xiàn)（x）＜1；
（2）F（x）在定義域A上是減函數(shù)．

Answer 1

證明：（1）∵f（x）＞0時，F(xiàn)（x）=a^f（x）＞1，
∴a＞1
則f（x）＜0時，-f（x）＞0…（2分）
∴a^-f（x）＞1
∴
∴0＜a^f（x）＜1
∴F（x）＜1…（4分）
（2）設x₁＜x₂，x₁．x₂∈A…（5分）
∵f（x）在A上為減函數(shù)，
∴f（x₁）＞f（x₂）
即f（x₂）-f（x₁）＜0，
而F（x₂）-F（x₁）=a^f（x2）-a^f（x1）=a^f（x1）[a^{f（x2）-f（x1）}-1]…（8分）
∵a＞0，
∴a^f（x1）＞0，且當f（x₂）-f（x₁）＜0
而f（x）＜0時，F(xiàn)（x）＜1
∴a^{f（x2）-f（x1）}＜1
∴F（x₂）-F（x₁）＜0∴F（x₂）＜F（x₁）
∴F（x）在定義域A上是減函數(shù)…（13分）
分析：（1）由已知中F（x）=a^f（x）（a＞0），當f（x）＞0時，F(xiàn)（x）＞1．我們可以判斷出底數(shù)a＞1，進而根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質，可以得到f（x）＜0時，F(xiàn)（x）＜1；
（2）x₁＜x₂，x₁．x₂∈A，根據(jù)f（x）在定義域A上是單調遞減函數(shù)，可得f（x₂）-f（x₁）＜0，進而判斷出F（x₂）-F（x₁）的符號，進而根據(jù)函數(shù)單調性的定義即可得到F（x）在定義域A上是減函數(shù)．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)單調性的判斷與證明，指數(shù)型復合函數(shù)的性質及應用，其中（1）的關鍵是判斷出底數(shù)a＞1，進而轉化為指數(shù)函數(shù)性質應用問題，（2）的關鍵是熟練掌握定義法（做差法）證明函數(shù)單調性的方法和步驟．