Question

12．已知函數(shù)f（x）=alnx+x²-（a+2）x恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-1，+∞）
• B． （-2，0）
• C． （-1，0）
• D． （-2，-1）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的定義域，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)a分類求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求得極值，結(jié)合函數(shù)f（x）=alnx+x²-（a+2）x恰有兩個(gè)零點(diǎn)列式求得a的范圍．

解答 解：函數(shù)定義域?yàn)閤＞0，且f′（x）=2x-（a+2）+$\frac{a}{x}$=$\frac{（2x-a）（x-1）}{x}$．
①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²-2x，在（0，+∞）上僅有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
②當(dāng)a＜0，即$\frac{a}{2}$＜0時(shí)，令f'（x）＜0，得0＜x＜1，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），
令f'（x）＞0，得x＞1，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）．
∴f（x）的極小值也就是f（x）在（0，+∞）上的最小值為f（1）=1-a-2=-a-1，
∵當(dāng)x→0時(shí)，f（x）→+∞，
∴要使函數(shù)f（x）=alnx+x²-（a+2）x恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則-a-1＜0，即a＞-1，
∴-1＜a＜0；
③當(dāng)0＜$\frac{a}{2}$＜1，即0＜a＜2時(shí)，令f'（x）＞0，得0＜x＜$\frac{a}{2}$或x＞1，
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，$\frac{a}{2}$），（1，+∞）．
令f'（x）＜0，得$\frac{a}{2}$＜x＜1，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（$\frac{a}{2}$，1）．
f（x）的極大值為f（$\frac{a}{2}$）=$aln\frac{a}{2}+\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{{a}^{2}}{2}-a=aln\frac{a}{2}+\frac{{a}^{2}}{2}-a$＜0，極小值為f（1）=1-a-2=-a-1＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上僅有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
④當(dāng)$\frac{a}{2}$=1，即a=2時(shí)，f'（x）≥0恒成立，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
⑤當(dāng)$\frac{a}{2}$＞1，即a＞2時(shí)，令f'（x）＞0，得0＜x＜1或x＞$\frac{a}{2}$，
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），（$\frac{a}{2}$，+∞）．
令f'（x）＜0，得1＜x＜$\frac{a}{2}$，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，$\frac{a}{2}$）．
f（x）的極大值為f（1）=1-a-2=-a-1＜0，極小值f（$\frac{a}{2}$）=$aln\frac{a}{2}+\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{{a}^{2}}{2}-a=aln\frac{a}{2}+\frac{{a}^{2}}{2}-a$＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上僅有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．
綜上，函數(shù)f（x）=alnx+x²-（a+2）x恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-1，0）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判定，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．