Question

過(guò)點(diǎn)P（2，3）的直線l被兩平行直線l₁：2x-5y+9=0與l₂：2x-5y-7=0所截線段AB的中點(diǎn)恰在直線x-4y-1=0上．
（Ⅰ）求l₁和l₂間的距離；
（Ⅱ）求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）由兩條平行線之間的距離公式，結(jié)合題中數(shù)據(jù)加以計(jì)算即可得到l₁和l₂間的距離；
（II）求出位于直線l₁和l₂之間，且與直線l₁和l₂距離相等的直線方程，與直線x-4y-1=0聯(lián)解得到AB中點(diǎn)坐標(biāo)為C（-3，-1），從而求出直線PC方程，即得所求直線l的方程．

解答：解：（I）根據(jù)兩條平行線之間的距離公式，得
l₁和l₂間的距離d=

|-7-9|

22+(-5)2

=

16 29

29

；
（II）由題意，AB的中點(diǎn)必定在直線2x-5y+1=0上，
聯(lián)解

2x-5y+1=0 x-4y-1=0

，得中點(diǎn)坐標(biāo)為C（-3，-1）
∵點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，3），
∴PC的斜率為k=

-1-3

-3-2

=

4

5

，得直線PC的方程為y-3=

4

5

（x-2）
化簡(jiǎn)，得y=

4

5

x+

7

5

，即為所求直線l的方程．

點(diǎn)評(píng)：本題給出平行直線，求經(jīng)過(guò)定點(diǎn)且被平行直線截得中點(diǎn)在定直線上的直線方程．著重考查了直線的基本量與基本形式、直線的位置關(guān)系和距離公式等知識(shí)，屬于中檔題．