Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（Ⅰ）求橢圓C的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)，離心率e，左焦點(diǎn)F₁；
（Ⅱ）經(jīng)過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)F₁作直線l，直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=$\frac{8\sqrt{2}}{7}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的方程可知：$a=\sqrt{2}，b=1$，故c=1，橢圓C的長(zhǎng)軸$2a=2\sqrt{2}$，短軸2b=2，離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，左焦點(diǎn)F₁（-1，0）；
（Ⅱ）設(shè)直線l方程y=k（x+1），代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式即可求得k的值，即可求得直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓$C：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，可知a²=2，b²=1，則$a=\sqrt{2}，b=1$，故c=1---（2分）
∴橢圓C的長(zhǎng)軸$2a=2\sqrt{2}$，短軸2b=2，離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
左焦點(diǎn)F₁（-1，0）．---------------------------------------------（6分）
（Ⅱ）設(shè)直線l方程y=k（x+1），聯(lián)立方程組：$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{x^2}+2{y^2}=2}\end{array}}\right.$，消元得：（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則由韋達(dá)定理可知：${x_1}+{x_2}=-\frac{{4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2{k^2}-2}}{{2{k^2}+1}}$，-----------------------------（8分）
則弦長(zhǎng)公式：$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\frac{{8\sqrt{2}}}{7}$，---------------------（9分）
∴$\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（-\frac{{4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}）}^2}-4（\frac{{2{k^2}-2}}{{2{k^2}+1}}}）=\frac{{8\sqrt{2}}}{7}$
即$\sqrt{{k^2}+1}\frac{{\sqrt{8（{k^2}+1）}}}{{2{k^2}+1}}=\frac{{8\sqrt{2}}}{7}$
解得：k²=3，$k=±\sqrt{3}$，-----------------------------------（11分）
∴直線l的方程：$y=\sqrt{3}（x+1）$或$y=-\sqrt{3}（x+1）$
即$\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}=0$或$\sqrt{3}x+y+\sqrt{3}=0$----------------------（12分）（兩個(gè)都寫(xiě)對(duì)了才給分，否則扣掉1分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．