Question

15．在△ABC中，|$\overrightarrow{BC}$|=4，△ABC的內(nèi)切圓切BC于D點(diǎn)，且|$\overrightarrow{BD}$|-|$\overrightarrow{CD}$|=2$\sqrt{2}$，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1（x＞$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，由圖可知∴|AB|-|AC|=|BE|-|CF|=|$\overrightarrow{BD}$|-|$\overrightarrow{CD}$|=2$\sqrt{2}$，即點(diǎn)A的軌跡為以B，C為焦點(diǎn)的雙曲線的右支（y≠0），頂點(diǎn)A的軌跡方程可求．

解答 解：如圖，
設(shè)E、F分別為圓與AB、AC的兩個(gè)切點(diǎn)，
則|BE|=|BD|，|CD|=|CF|，
又|AE|=|AF|，
∴|AB|-|AC|=|BE|-|CF|=|$\overrightarrow{BD}$|-|$\overrightarrow{CD}$|=2$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)A的軌跡為以B，C為焦點(diǎn)的雙曲線的右支（y≠0），
且a=$\sqrt{2}$，c=2，
∴b=$\sqrt{{2}^{2}{-（\sqrt{2}）}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1（x＞$\sqrt{2}$）．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1（x＞$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的定義與平面幾何知識(shí)在求解圓錐曲線問題中的應(yīng)用問題，是綜合題．