19．已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB=60°，C為該球面上的動點，若三棱錐O-ABC體積的最大值為$\frac{{16\sqrt{3}}}{3}$，則球O的表面積為（　�。�
A．36πB．64πC．144πD．256π

分析 當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O-ABC的體積最大，利用三棱錐O-ABC體積的最大值為$\frac{{16\sqrt{3}}}{3}$，求出半徑，即可求出球O的表面積．

解答 解：如圖所示，當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O-ABC的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，此時VO-ABC=VC-AOB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{R}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$×R=$\frac{{16\sqrt{3}}}{3}$，
故R=4，則球O的表面積為4πR2=64π，
故選B．

點評 本題考查球的半徑與表面積，考查體積的計算，確定點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O-ABC的體積最大是關(guān)鍵．

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