Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（a+2）x+alnx，其中常數(shù)a∈R．
（1）當a=4時，求函數(shù)f（x）的極值點；
（2）令F（x）=f（x）+（a+2）x，若函數(shù)F（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（3）設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點P（x₀，h（x₀））處的切線方程為l：y=g（x），當x≠x₀時，若

h(x)-g(x)

x-x0

＞0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=h（x）的“特殊點”，當a=4時，試問y=f（x）是否存在“類對稱點”，若存在，請至少求出一個“特殊點”的橫坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,新定義,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可求f（x）的極值點；
（2）函數(shù)F（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，只需滿足F′（x）=2x+

a

x

≥0對x∈[2，+∞）恒成立．分離參數(shù)a求范圍．
（3）當a=4時，y=g（x）=（2x₀+

4

x0

-6）（x-x₀）+x02-6x0+4lnx0，令φ（x）=f（x）-g（x），得φ′（x）=2x+

4

x

-6-（2x₀+

4

x0

-6）=2（x-x₀）（1-

2

x0x

）=

2

x

（x-x₀）（x-

2

x0

），分x₀＞

2

x0

，x₀＜

2

x0

，x₀＜

2

x0

三類求解．

解答： 解：（1）當a=4時，f′（x）=2x+

4

x

-6=

2(x-1)(x-2)

x

，
當0＜x＜1或x＞2時，f′（x）＞0，即f（x）在（0，1），（2，+∞）上單調(diào)遞增； 
當1＜x＜2時，f′（x）＜0，即f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減；         
所以x=1為函數(shù)f（x）的極大值點，x=2為函數(shù)f（x）的極小值點．
（2）F（x）=f（x）+（a+2）x=x²+alnx，
若函數(shù)F（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，只需滿足
F′（x）=2x+

a

x

≥0對x∈[2，+∞）恒成立．
即a≥-2x²對x∈[2，+∞）恒成立．
∴a≥-8，經(jīng)檢驗a≥-8滿足題意．…（8分）
（3）由題意：當a=4時，f′（x）=2x+

4

x

-6，
則在點P處切線的斜率kx₀=f′（x₀）=2x₀+

4

x0

-6，
y=g（x）=（2x₀+

4

x0

-6）（x-x₀）+x02-6x0+4lnx0
令φ（x）=f（x）-g（x）=x²-6x+4lnx-（2x₀+

4

x0

-6）（x-x₀）-（x02-6x0+4lnx0）
φ（x₀）=0，φ′（x）=2x+

4

x

-6-（2x₀+

4

x0

-6）=2（x-x₀）（1-

2

x0x

）=

2

x

（x-x₀）（x-

2

x0

），
當x₀＜

2

x0

，即x₀＜

2

時，φ（x）在（x₀，

2

x0

）上單調(diào)遞減，
∴x∈（x₀，

2

x0

）時，φ（x）＜φ（x₀）=0，此時

φ(x)

x-x0

＜0，
當x₀＞

2

x0

，即x₀＞

2

時，φ（x）在（

2

x0

，x₀）上單調(diào)遞減，
∴x∈（

2

x0

，x₀）時，φ（x）＞φ（x₀）=0，此時

φ(x)

x-x0

＜0，
∴在（0，

2

）∪(

2

，+∞)上不存在特殊點．
當x₀=

2

x0

，即x₀=

2

時，φ′（x）=

2

x

（x-

2

）²＞0，φ（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，此時

φ(x)

x-x0

＞0，
∴x=

2

是一個“特殊點”的橫坐標．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值問題，要理解新定義的含義，轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的知識和方法解決．是一道綜合題．