Question

【題目】已知橢圓：（）的離心率為，連接橢圓的四個頂點(diǎn)得到的四邊形的面積為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程；

（3）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，取上不同于的點(diǎn)，以為直徑作圓與相交另外一點(diǎn)，求該圓面積的最小值時點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3).

【解析】

試題分析：(1)借助題設(shè)條件建立方程組求解；(2)運(yùn)用拋物線的定義求解；(3)借助題設(shè)運(yùn)用圓與拋物線的位置關(guān)系探求.

試題解析：

（1）由，得，再由，解得……………………1分

由題意可知，即…………………………………………………2分

解方程組得，……………………………………………………3分

所以橢圓的方程是……………………………………………………………4分

（2）因?yàn)?/span>，所以動點(diǎn)到定直線：的距離等于它到定點(diǎn)的距離，所以動點(diǎn)的軌跡是以為準(zhǔn)線，為焦點(diǎn)的拋物線，…………………………………………6分

所以點(diǎn)的軌跡的方程為………………………………………………………7分

（3）因?yàn)橐?/span>為直徑的圓與相交于點(diǎn)，所以，即…8分

設(shè)，，，

所以

因?yàn)?/span>，，化簡得……………………………………9分

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)即，時等號成立．…………………………10分

圓的直徑

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)即時，，…………………11分

所以所求圓的面積的最小時，點(diǎn)的坐標(biāo)為………………………………12分