Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n+a_n=4，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）已知c_n=2n+3（n∈N^*），記d_n=c_n+log_Ca_n（C＞0且C≠1），是否存在這樣的常數(shù)C，使得數(shù)列{d_n}是常數(shù)列，若存在，求出C的值；若不存在，請說明理由．
（3）若數(shù)列{b_n}，對于任意的正整數(shù)n，均有b₁a_n+b₂a_n-1+b₃a_n-2+…+b_na₁=（

1

2

）ⁿ-

n+2

2

成立，求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用“當(dāng)n=1時，a₁=S₁；當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”即可得出；
（2）d_n=c_n+log_Ca_n=2n+3+logC22-n=（2-log_C2）n+3+2log_C2，假設(shè)存在這樣的常數(shù)C，使得數(shù)列{d_n}是常數(shù)列，則2-log_C2=0，解得C即可．
（3）由于對于任意的正整數(shù)n，均有b₁a_n+b₂a_n-1+b₃a_n-2+…+b_na₁=（

1

2

）ⁿ-

n+2

2

成立（*），b₁a_n+1+b₂a_n+…+b_na₂+b_n+1a₁=(

1

2

)n+1-

n+3

2

．（*）兩邊同乘以

1

2

可得：b₁a_n+1+b₂a_n+…+b_na₂=(

1

2

)n+1-

n+2

4

．兩式相減可得可得bn+1=

-n-4

8

，即bn=

-n-3

8

，（n≥3）．n=1，2也成立，即可證明．

解答： （1）解：∵且S_n+a_n=4，n∈N^*．∴當(dāng)n≥2時，S_n-1+a_n-1=4，∴a_n+a_n-a_n-1=0，即an=

1

2

an-1．
當(dāng)n=1時，2a₁=4，解得a₁=2．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，a_n=2×(

1

2

)n-1=2^2-n．
（2）解：d_n=c_n+log_Ca_n=2n+3+logC22-n=2n+3+（2-n）log_C2=（2-log_C2）n+3+2log_C2，
假設(shè)存在這樣的常數(shù)C，使得數(shù)列{d_n}是常數(shù)列，
則2-log_C2=0，解得C=

2

．
∴存在這樣的常數(shù)C=

2

，使得數(shù)列{d_n}是常數(shù)列，d_n=3+2log

2

2=7．
（3）證明：∵對于任意的正整數(shù)n，均有b₁a_n+b₂a_n-1+b₃a_n-2+…+b_na₁=（

1

2

）ⁿ-

n+2

2

成立（*），
∴b₁a_n+1+b₂a_n+…+b_na₂+b_n+1a₁=(

1

2

)n+1-

n+3

2

．①
（*）兩邊同乘以

1

2

可得：b₁a_n+1+b₂a_n+…+b_na₂=(

1

2

)n+1-

n+2

4

．②．
①-②可得b_n+1a₁=

n+2

4

-

n+3

2

=

-n-4

4

，
∴bn+1=

-n-4

8

，
∴bn=

-n-3

8

，（n≥3）．
又2b₁=

1

2

-

3

2

，解得b₁=-

1

2

．
b₁a₂+b₂a₁=

1

4

-

4

2

，
∴-

1

2

×1+b₂×2=-

7

4

，解得b₂=-

5

8

．
當(dāng)n=1，2時，bn=

-n-3

8

，也適合．
∴bn=

-n-3

8

，（n∈N^*）是等差數(shù)列．

點評：本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．