Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，PD∥MA，MA⊥AD，PM⊥平面CDM，MA=

1

2

PD．
（Ⅰ）求證：平面ABCD⊥平面AMPD；
（Ⅱ）若BC與PM所成的角為45°，求二面角M-BP-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）首先利用已知條件中的線面垂直轉(zhuǎn)化出線線垂直，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化出面面垂直．
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，再利用法向量知識(shí)求出結(jié)果，及相關(guān)的向量的夾角和數(shù)量積．

解答： 證明：（ I）∵PM⊥平面CDM，且CD?平面CDM，
∴PM⊥CD，
又ABCD是正方形，
∴CD⊥AD，而梯形AMPD中PM與AD相交，
∴CD⊥平面AMPD，
又CD?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面AMPD
解：（ II）∵CD⊥平面AMPD，則CD⊥PD，CD⊥AD，
又PD∥MA，MA⊥AD，
∴PD⊥AD，
以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA，DP，DC依次為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)MA=

1

2

PD=1，AD=a．
則A（a，0，0），M（a，1，0），B（a，0，a），C（0，0，a），P（0，2，0）．

PM

=(a，-1，0)，

BC

=(-a，0，0)，
由BC與PM所成的角為45°，
得|cos＜

PM

，

BC

＞|=

a2

a2+1 •|a|

=

2

2

解得a=1
∵

BP

=(-1，2，-1)，

PM

=(1，-1，0)，
求得平面MBP的一個(gè)法向量是

n1

=(1，1，1)；

BC

=(-1，0，0)，

BP

=(-1，2，-1)，
求得平面CBP的一個(gè)法向量是

n2

=(0，1，2)；
則cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1+2

3 • 5

=

15

5

，
故二面角M-BP-C的余弦值為-

15

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，面面垂直的判定定理，二面角的平面角的做法，法向量，空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)的運(yùn)算問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題型．