Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，且a_n²+2a_n=4S_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）b_n=

4

an2

（n∈N°），T_n=b₁+b₂+…+b_n，求證：T_n＜

5

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）利用“當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1”即可得出；
（II）利用b_n=

4

an2

=

1

n2

＜

1

(n-1)(n+1)

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)，（n≥3），即可證明．

解答： （I）解：∵a_n²+2a_n=4S_n，∴當(dāng)n≥2時(shí)，4a_n=4S_n-4S_n-1=a_n²+2a_n-(

a

2 n-1

+2an-1)，化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，∴a_n-a_n-1=2．
當(dāng)n=1時(shí)，

a

2 1

+2a1=4a1，解得a₁=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（II）證明：b_n=

4

an2

=

1

n2

＜

1

(n-1)(n+1)

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)，（n≥3），
∴當(dāng)n≥3時(shí)，T_n=b₁+b₂+…+b_n≤1+

1

4

+

1

2

[(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

4

-

1

6

)+…+(

1

n-2

-

1

n

)+(

1

n-1

-

1

n+1

)]=

5

3

-

1

2

(

1

n

+

1

n+1

)＜

5

3

．
當(dāng)n=1，2時(shí)，驗(yàn)證成立．
∴?n∈N^*，T_n＜

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、“放縮法”證明不等式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．