Question

已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）設(shè)x為三角形的內(nèi)角，且函數(shù)y=2f（x）+k恰有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意可得f（x）==cos2x-cos（2x-）+1
=cos2x-cos2x-sin2x+1=cos2x-sin2x+1
=1-sin（2x-），所以其最小正周期為π，
由2kπ-≤2x-≤2kπ+解得，k∈Z，
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：（kπ-，kπ+），k∈Z，
（2）由（1）知：y=2f（x）+k=2+k-2sin（2x-）
因?yàn)閤為三角形的內(nèi)角，且函數(shù)y=2f（x）+k恰有兩個零點(diǎn)，
即方程sin（2x）=1+在區(qū)間（0，π）上恰有兩根，
∴-1且1+，
解得-4＜k＜0，且k≠-3
分析：（1）由題意可得f（x）的解析式，可得周期，由整體法可得單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）知：y=2f（x）+k=2+k-2sin（2x-），原問題可轉(zhuǎn)化為方程sin（2x）=1+在區(qū)間（0，π）上恰有兩根，可得不等式-1且1+，解之即可．
點(diǎn)評：本題為三角函數(shù)與向量的結(jié)合，涉及三角函數(shù)的周期單調(diào)性和函數(shù)的零點(diǎn)，屬中檔題．