Question

在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，PA=AB=BC=

1

2

CD=a．
（1）求證：面PAD⊥面PAC；
（2）求二面角D-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)PA=AB=BC=

1

2

CD=a，連接AC，在RT△ABC中，AC=

2

a，在直角梯形ABCD中易求得AD=

2

a，所以AD²+AC²=CD²，由此能夠證明面PAD⊥面PAC．
（2）以B為原點(diǎn)，BA，BC所在直線分別為x軸，y軸建立坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D-PB-C的余弦值．

解答：（1）證明：設(shè)PA=AB=BC=

1

2

CD=a，]
連接AC，在RT△ABC中，AC=

2

a，
在直角梯形ABCD中易求得AD=

2

a，所以在△DAC中有：AD²+AC²=CD²，
∴AC⊥AD，
又∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AC，
∴AC⊥平面PAD，
∵AC?平面PAC∴面PAD⊥面PAC．…（6分）
（2）以B為原點(diǎn)，BA，BC所在直線分別為x軸，y軸建立如圖所示坐標(biāo)系，
則A（a，0，0），B（0，0，0），C（0，a，0），D（2a，a，0），P（a，0，a），
設(shè)平面PBC的法向量為

n1

=（x′，y′，z′），平面PBD的法向量為

n2

=（x，y，z），

BP

=（a，0，a），

BC

=（0，a，0），

BD

=（2a，a，0），
由

n1

⊥

BP

，

n1

⊥

BC

，

n2

⊥

BP

，

n2

⊥

BD

，
得：ax′+az′=0，y′=0，ax+az=0，2ax+ay=0
∴z′=-x′，y′=0，y=-2x，z=-x，
∴

n1

=（1，0，-1），

n2

=（1，-2，-1）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

1×1+0×(-2)+(-1)×(-1)

2 × 6

=

3

3

設(shè)二面角D-PB-C的平面角θ，由圖形易知θ為銳角
∴cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=

3

3

…（12分）．

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面的余弦值的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量法的合理運(yùn)用．