Question

5．函數y=Atan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象與x軸相交的兩相鄰點的坐標為（-$\frac{π}{2}$，0），（$\frac{π}{6}$，0），且過點（0，-3），求此函數的解析式．

Answer 1

分析 根據f（x）的周期為T=$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{6}$-（-$\frac{π}{2}$），求出ω，再由y的圖象過點（$\frac{π}{6}$，0），（0，-3），求出A與φ的值即可得解函數解析式．

解答 解：∵根據題意，f（x）的周期為：T=$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{6}$-（-$\frac{π}{2}$）=$\frac{2π}{3}$，
解得：ω=$\frac{3}{2}$，
∴f（x）=Atan（$\frac{3}{2}$x+φ）；
又∵Atan（$\frac{3}{2}$×$\frac{π}{6}$+φ）=0，即$\frac{π}{4}$+φ=kπ，k∈Z，
解得φ=kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z，由于|φ|＜$\frac{π}{2}$，于是解得φ=-$\frac{π}{4}$．
又∵它的圖象過點（0，-3），
∴Atan（$\frac{3}{2}$×0-$\frac{π}{4}$）=-3，即tan（-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{3}{A}$=-1，解得A=3，
∴函數的解析式為y=3tan（$\frac{3}{2}$x-$\frac{π}{4}$）．

點評 本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，也考查了三角函數解析式的求法問題，是基礎題目．