Question

11．學(xué)校的校園活動(dòng)中有這樣一個(gè)項(xiàng)目．甲箱子中裝有大小相同、質(zhì)地均勻的4個(gè)白球，3個(gè)黑球．乙箱子中裝有大小相同、質(zhì)地均勻的3個(gè)白球，2個(gè)黑球．
（1）從兩個(gè)箱子中分別摸出1個(gè)球，如果它們都是白球則獲勝，有人認(rèn)為，這兩個(gè)箱子里裝的白球比黑球多，所以獲勝的概率大于0.5，你認(rèn)為呢？并說(shuō)明理由；
（2）如果從甲箱子中不放回地隨機(jī)取出4個(gè)球．求取到的白球數(shù)的分布列和期望；
（3）如果從甲箱子中隨機(jī)取出2個(gè)球放入乙箱中，充分混合后，再?gòu)囊蚁渲腥〕?個(gè)球放回甲箱，求甲箱中白球個(gè)數(shù)沒(méi)有減少的槪率．

Answer 1

分析 （1）記“獲勝”為事件A，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出“獲勝”的概率小于0.5．
（2）設(shè)取出的白球的個(gè)數(shù)為變量為X，則X的可能取值為1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和期望．
（3）記“甲箱中白球隊(duì)個(gè)數(shù)沒(méi)有減少”為事件B，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式能求出甲箱中白球個(gè)數(shù)沒(méi)有減少的槪率．

解答 解：（1）我認(rèn)為“獲勝”的概率小于0.5．
理由如下：
記“獲勝”為事件A，
則P（A）=$\frac{4}{7}×\frac{3}{5}=\frac{12}{35}$＜0.5，
∴“獲勝”的概率小于0.5．
（2）設(shè)取出的白球的個(gè)數(shù)為變量為X，
則X的可能取值為1，2，3，4，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{3}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{12}{35}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{18}{35}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{3}^{1}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{12}{35}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{4}^{4}{C}_{3}^{0}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{1}{35}$，
∴X的分布列為：

X	1	2	3	4
P	$\frac{4}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{1}{35}$

EX=$1×\frac{4}{35}+2×\frac{18}{35}+3×\frac{12}{35}+4×\frac{1}{35}=\frac{16}{7}$．
（3）記“甲箱中白球隊(duì)個(gè)數(shù)沒(méi)有減少”為事件B，
則P（B）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{2}}+\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{7}^{2}}+\frac{{C}_{4}^{2}+{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{7}^{2}}+\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{7}^{2}}•\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{7}^{2}}$=$\frac{113}{147}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望，相互獨(dú)立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．