Question

函數(shù)f（x）=x+

a

x

，（a＞0）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是             （　�。�

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），令f′（x）=0，解得方程的根，判斷函數(shù)f（x）在根左右的單調(diào)性，利用極值的定義，即可判斷出答案．

解答：解：∵f（x）=x+

a

x

，（a＞0），
∴f′（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

，（a＞0）
令f′（x）=0，解得x=-

a

，x=

a

，
當(dāng)x＜-

a

時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）在（-∞，-

a

）上單調(diào)遞增，
當(dāng)-

a

＜x＜0時(shí)，f′（x）＜0，則f（x）在（-

a

，0）上單調(diào)遞減，
當(dāng)0＜x＜

a

時(shí)，f′（x）＜0，則f（x）在（0，

a

）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞

a

時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）在（

a

，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=-

a

時(shí)，f（x）取極大值，當(dāng)x=

a

時(shí)，f（x）取極小值，
∴x=-

a

為極大值點(diǎn)，x=

a

為極小值點(diǎn)，
∴函數(shù)f（x）=x+

a

x

，（a＞0）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2個(gè)．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，求函數(shù)極值的步驟是：先求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，求出方程的根，確定函數(shù)在方程的根左右的單調(diào)性，根據(jù)極值的定義，確定極值點(diǎn)和極值．過程中要注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，一般導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．屬于中檔題．