Question

已知某個幾何體的三視圖如圖（主視圖的弧線是半圓），根據(jù)圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)，
（Ⅰ）求這個組合體的體積；
（Ⅱ）若組合體的底部幾何體記為ABCD-A₁B₁C₁D₁，其中A₁B₁BA為正方形．
（i）求證：A₁B⊥平面AB₁C₁D；
（ii）求證：P為棱A₁B₁上一點，求AP+PC₁的最小值．

Answer 1

分析：（I）由幾何體的三視圖可知該幾何體為底部為長方體，（該長方體的棱長分別為8，8，10），上部為半個圓柱（圓柱的底面直徑為8，高為10）代入體積公式可求
（II）（i）由長方體的性質(zhì)易得A₁B⊥AD，A₁B⊥AB₁，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可證
（ii）將上底面A₁B₁C₁D₁展開，與平面A₁B₁BA共面時，連接AC₁交A₁B₁于點P，即AC₁為最短距離

解答：解：（Ⅰ）此組合體底部為長方體，上部為半個圓柱V=8×8×10+

1

2

π×42×10=640+80π．（5分）
（Ⅱ）（i）∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁
∴AD⊥平面A₁B₁BA
∵A₁B?平面A₁B₁BA
∴AD⊥A₁B
又∵A₁B₁BA是邊長為8的正方形
∴A₁B⊥AB₁
∵AB₁∩AD=A
∴A₁B⊥平面AB₁C₁D．（10分）
（ii）將上底面A₁B₁C₁D₁展開，與平面A₁B₁BA共面時，連接C₁A交A₁B₁于點P，即AC₁為最短距離．
此時長度為

82+182

=2

97

．（13分）

點評：本題主要考查了由三視圖還原實物圖的能力，直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，平面展開圖的運用你，解決此題的關(guān)鍵是要求考生具備很強的空間想象能力．