Question

（本小題滿分12分）
已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2.
（1）求曲線的方程；
（2）曲線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn).直線分別與直線及軸交于點(diǎn)，以為直徑作圓，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，試探究：當(dāng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與原點(diǎn)不重合）時(shí)，線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）.（2）當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度不變，證明見解析.

試題分析：（1）思路一：設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，
依題意可知曲線是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，
得到曲線的方程為.
思路二：設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，
由，化簡(jiǎn)即得.
（2）當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度不變，證明如下：
由（1）知拋物線的方程為，
設(shè)，得，
應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，確定切線的斜率，進(jìn)一步得切線的方程為.
由，得.
由，得.
根據(jù)，得圓心，半徑，
由弦長(zhǎng)，半徑及圓心到直線的距離之關(guān)系，確定.
試題解析：解法一：（1）設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，
依題意，點(diǎn)S到的距離與它到直線的距離相等，
所以曲線是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，
所以曲線的方程為.
（2）當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度不變，證明如下：
由（1）知拋物線的方程為，
設(shè)，則，
由，得切線的斜率
，
所以切線的方程為，即.
由，得.
由，得.
又，所以圓心，
半徑，
.
所以點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度不變.

解法二：
（1）設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，
則，
依題意，點(diǎn)只能在直線的上方，所以，
所以，
化簡(jiǎn)得，曲線的方程為.
（2）同解法一.