Question

給出四個(gè)命題：
①函數(shù)y=sin|x|是周期函數(shù)，且周期為2π；
②函數(shù)y=

1

2

+

1

2x-1

與y=

(1+2x)2

x•2x

都是奇函數(shù)；
③函數(shù)y=2cos(2x+

π

3

)的圖象關(guān)于點(diǎn)(

π

12

，0)對(duì)稱；
④△ABC中，若sinA，sinB，sinC成等差數(shù)列，則B∈（0，

π

3

]，其中所有正確的序號(hào)是

②、③、④

．

Answer 1

分析：函數(shù)y=sin|x|是分段函數(shù)，可根據(jù)分段函數(shù)圖象分析是否為周期函數(shù)；命題②中的兩個(gè)函數(shù)定義域均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，運(yùn)用定義判斷；判斷命題③，只需將點(diǎn)代入即可；命題④根據(jù)sinA，sinB，sinC成等差數(shù)列，得到2sinB=sinA+sinC，進(jìn)一步得到邊的關(guān)系，運(yùn)用余弦定理推論求解角B的范圍．

解答：解：①y=sin|x|=

sinx    x＞0 -sinx  x＜0

，由正弦函數(shù)圖象知在x＞0和x＜0時(shí)均以2π為周期變化，在整個(gè)定義域上不是周期函數(shù)．
②函數(shù)y=

1

2

+

1

2x-1

與y=

(1+2x)2

x•2x

的定義域均為{x|x≠0}關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)y=

1

2

+

1

2x-1

=

2x+1

2x-1

∵

2-x+1

2-x-1

=

1+2x

1-2x

=-

2x+1

2x-1

．∴函數(shù)y=

1

2

+

1

2x-1

是奇函；同理證明函數(shù)y=

(1+2x)2

x•2x

是奇函．
③把點(diǎn)x=

π

12

代入y=2cos(2x+

π

3

)得y=2cos（2×

π

12

+

π

3

）=0，函數(shù)y=2cos(2x+

π

3

)的圖象關(guān)于點(diǎn)(

π

12

，0)對(duì)稱．
④∵sinA，sinB，sinC成等差數(shù)列，∴2sinB=sinA+sinC，∴2b=a+c，b²=

(a+c)2

4

=

a2+c2+2ac

4

，
cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

3(a2+c2)-2ac

8ac

≥

4ac

8ac

=

1

2

．∴B∈(0，

π

3

]．
故答案為②③④．

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的周期性是指函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)周期出現(xiàn)；奇偶性除了用定義判斷外，也可以借助于圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸的對(duì)稱情況判斷；余弦類型函數(shù)的對(duì)稱中心就是圖象與平衡位置的交點(diǎn)；解三角形中的問題借助于正余弦定理邊角互化是關(guān)鍵．