Question

3．已知銳角△ABC的內(nèi)角A=$\frac{π}{3}$，點(diǎn)0為三角形外接圓的圓心，若$\overrightarrow{OA}$=x$\overrightarrow{OB}$+y$\overrightarrow{OC}$，則2x-y的范圍為（-2，1）．

Answer 1

分析 以三角形外心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)外接圓圓心為1，則ABC均在單位圓上，不妨設(shè)C（1，0），利用A=$\frac{π}{3}$解出B點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出A（cosθ，sinθ），則由$\overrightarrow{OA}$=x$\overrightarrow{OB}$+y$\overrightarrow{OC}$得出關(guān)于x，y和θ的關(guān)系，解出x，y，根據(jù)θ的范圍得出關(guān)于2x-y的范圍．

解答 解：設(shè)△ABC的外接圓半徑為1，以△ABC的外心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)C所在直線(xiàn)為x軸建立坐標(biāo)系，如圖：
則C（1，0），設(shè)A（cosθ，sinθ），∵A=$\frac{π}{3}$，∴∠BOC=$\frac{2π}{3}$，∴B（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∴$\overrightarrow{OA}$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow{OB}$=（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{OC}$=（1，0）．
∵$\overrightarrow{OA}$=x$\overrightarrow{OB}$+y$\overrightarrow{OC}$，∴（cosθ，sinθ）=（-$\frac{x}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}x}{2}$）+（y，0）=（-$\frac{x}{2}+y$，-$\frac{\sqrt{3}x}{2}$）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{cosθ=-\frac{x}{2}+y}\\{sinθ=-\frac{\sqrt{3}x}{2}}\end{array}\right.$，解得x=-$\frac{2sinθ}{\sqrt{3}}$，y=cosθ-$\frac{sinθ}{\sqrt{3}}$，
∴2x-y=-$\frac{4sinθ}{\sqrt{3}}$+$\frac{sinθ}{\sqrt{3}}$-cosθ=-$\sqrt{3}$sinθ-cosθ=-2sin（θ+$\frac{π}{6}$）
∵△ABC是銳角三角形，∴$\frac{π}{3}$＜θ＜π，∴$\frac{π}{2}$＜θ$+\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$．
∴當(dāng)θ$+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，2x-y取得最小值-2，
當(dāng)θ$+\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$時(shí)，2x-y取得最大值1．
故2x-y的值域是（-2，1）．
故答案為（-2，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量在幾何中的應(yīng)用，根據(jù)題目作出符合條件的圖形是關(guān)鍵．