Question

13．已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)滿足f（x+4）=f（x），且x∈（0，2）時(shí)，f（x）=ln（x²+a），a＞0，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，4]上有9個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，1）．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x+4）=f（x）推得f（x）是以4為周期的函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性原問題等價(jià)為：x∈（0，2）時(shí)，f（x）必有唯一零點(diǎn)．

解答 解：因?yàn)閒（x+4）=f（x），所以f（x）是以4為周期的函數(shù)，
且f（x）為奇函數(shù)，所以f（0）=0，因此f（4）=f（0）=0，
再令x=-2代入f（x+4）=f（x）得，f（-2）=f（2）=-f（2），
所以，f（-2）=f（2）=0，
因此，要使f（x）=0在[-4，4]上有9個(gè)零點(diǎn)，
則f（x）在（0，4]上必有4個(gè)零點(diǎn)，且已有零點(diǎn)x=2，x=4，
所以，當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）必有唯一零點(diǎn)，
（依據(jù)：若在（0，2）有唯一零點(diǎn)，則（-2，0）有唯一零點(diǎn)，則（2，4）有唯一零點(diǎn)）
即令f（x）=ln（x²+a）=0，分離a得，a=1-x²，x∈（0，2），
解得a∈（-3，1），且a＞0，所以，a∈（0，1），
故答案為：（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定，涉及函數(shù)的圖象和性質(zhì)，尤其是奇偶性和周期性，屬于中檔題．