Question

7．已知函數(shù)f（x）=me^x-x-2．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）過點P（0，1），求曲線f（x）在點P（0，1）處的切線方程；
（Ⅱ）若f（x）＞0在R上恒成立，求m的取值范圍；
（Ⅲ）若f（x）的兩個零點為x₁，x₂，且x₁＜x₂，求$y=（{e^{x_2}}-{e^{x_1}}）（\frac{1}{{{e^{x_2}}+{e^{x_1}}}}-m）$的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，求出m的值，求出切線方程即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為$m＞\frac{x+2}{e^x}$，令$u（x）=\frac{x+2}{e^x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出u（x）的最大值，從而求出m的范圍即可；
（Ⅲ）令x₂-x₁=t（t＞0），構造函數(shù)$g（t）=\frac{{{e^t}-1}}{{{e^t}+1}}-t（t＞0）$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（t）的范圍，從而求出函數(shù)的值域即可．

解答 解：（Ⅰ）當x=0時，f（0）=m-2=1⇒m=3，
f′（x）=3e^x-1，f′（0）=3-1=2，
∴所求切線方程y=2x+1，即2x-y+1=0（3分）
（Ⅱ）由f（x）＞0，得：me^x-x-2＞0，即有$m＞\frac{x+2}{e^x}$，
令$u（x）=\frac{x+2}{e^x}$，則${u^/}（x）=\frac{-x-1}{e^x}$，（5分）
令u′（x）＞0⇒x＜-1，u′（x）＜0⇒x＞-1，
∴u（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞增，在（-1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴u（x）_max=u（-1）=e，
∴m＞e（7分）
（ III）由題意，$m{e^{x_1}}-{x_1}-2=0$，$m{e^{x_2}}-{x_2}-2=0$（8分），
$y=\frac{{{e^{x_2}}-{e^{x_1}}}}{{{e^{x_2}}+{e^{x_1}}}}-m（{e^{x_2}}-{e^{x_1}}）$
=$\frac{{{e^{x_2}}-{e^{x_1}}}}{{{e^{x_2}}+{e^{x_1}}}}-（{x_2}-{x_1}）$
=$\frac{{{e^{{x_2}-{x_1}}}-1}}{{{e^{{x_2}-{x_1}}}+1}}-（{x_2}-{x_1}）$，
令x₂-x₁=t（t＞0），$g（t）=\frac{{{e^t}-1}}{{{e^t}+1}}-t（t＞0）$（10分）
又${g^/}（t）=\frac{{-{e^{2t}}-1}}{{{{（{e^t}+1）}^2}}}＜0$，
∴g（t）在（0，+∞）上單調(diào)遞減（12分）
∴g（t）＜g（0）=0（13分）
∴g（t）∈（-∞，0）
∴$y=（{e^{x_2}}-{e^{x_1}}）（\frac{1}{{{e^{x_2}}+{e^{x_1}}}}-m）$的值域為（-∞，0）（14分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題．