Question

16．已知平面直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，P點的極坐標為（3，$\frac{π}{4}$）．曲線C的參數(shù)方程為ρ=2cos（θ-$\frac{π}{4}$）（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）寫出點P的直角坐標及曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）若Q為曲線C上的動點，求PQ的中點M到直線l：2ρcosθ+4ρsinθ=$\sqrt{2}$的距離的最小值．

Answer 1

分析 （I）由P點的極坐標為（3，$\frac{π}{4}$），利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$可得點P的直角坐標．曲線C的極坐標為ρ=2cos（θ-$\frac{π}{4}$）（θ為極角），展開可得：ρ²=$2×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ+ρsinθ），利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$及其ρ²=x²+y²即可得出直角坐標方程．
（II）直線l：2ρcosθ+4ρsinθ=$\sqrt{2}$的直角坐標方程為：：2x+4y=$\sqrt{2}$．設(shè)Q$（\frac{\sqrt{2}}{2}+cosθ，\frac{\sqrt{2}}{2}+sinθ）$，則M$（\sqrt{2}+\frac{cosθ}{2}，\sqrt{2}+\frac{sinθ}{2}）$，利用點到直線的距離公式與三角函數(shù)的單調(diào)性值域即可得出．

解答 解：（I）由P點的極坐標為（3，$\frac{π}{4}$），∴x_P=3$cos\frac{π}{4}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，y_P=3$sin\frac{π}{4}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴點P的直角坐標為$（\frac{3\sqrt{2}}{2}，\frac{3\sqrt{2}}{2}）$．
曲線C的極坐標為ρ=2cos（θ-$\frac{π}{4}$）（θ為極角），展開可得：ρ²=$2×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ+ρsinθ），
∴x²+y²=$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$y，
配方為：$（x-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$+$（y-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$=1．
（II）直線l：2ρcosθ+4ρsinθ=$\sqrt{2}$的直角坐標方程為：：2x+4y=$\sqrt{2}$．
設(shè)Q$（\frac{\sqrt{2}}{2}+cosθ，\frac{\sqrt{2}}{2}+sinθ）$，則M$（\sqrt{2}+\frac{cosθ}{2}，\sqrt{2}+\frac{sinθ}{2}）$，
則點M到直線l的距離d=$\frac{|2（\sqrt{2}+\frac{cosθ}{2}）+4（\sqrt{2}+\frac{sinθ}{2}）-\sqrt{2}|}{\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{5\sqrt{2}+\sqrt{5}sin（θ+φ）}{2\sqrt{5}}$$≥\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}-1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)sin（θ+φ）=-1時取等號．
∴點M到直線l：2ρcosθ+4ρsinθ=$\sqrt{2}$的距離的最小值是$\frac{\sqrt{10}-1}{2}$．

點評 本題考查了極坐標方程與直角坐標方程的互化、點到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．