Question

8．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足$\frac{sin（2A+B）}{sinA}$=2+2cos（A+B）．
（Ⅰ）求$\frac{a}$的值；
（Ⅱ）若a=1，c=$\sqrt{7}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)正弦定理進行轉(zhuǎn)化即可求$\frac{a}$的值；
（Ⅱ）若a=1，c=$\sqrt{7}$，根據(jù)三角形的面積公式即可求△ABC的面積．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{sin（2A+B）}{sinA}=2+2cos（A+B）$，
∴sin（2A+B）=2sinA+2sinAcos（A+B），
∴sin[A+（A+B）]=2sinA+2sinAcos（A+B），
∴sin（A+B）cosA-cosAsin（A+B）=2sinA，…（2分）
∴sinB=2sinA，…（4分）
∴b=2a，∴$\frac{a}=2$．…（6分）
（Ⅱ）∵$a=1\;，\;\;c=\sqrt{7}$，$\frac{a}=2$，∴b=2，
∴$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{1+4-7}{4}=-\frac{1}{2}$，∴$C=\frac{2π}{3}$．…（10分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}•1•2•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
即△ABC的面積的$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（12分）

點評 本題主要考查正弦定理的應用，根據(jù)三角形的面積公式以及正弦定理進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關鍵．