Question

下列命題中正確的是（　�。�

• A．y=x+

  1

  x

  的最小值是2
• B．y=2-3x-

  4

  x

  (x＞0)的最大值是2-4

  3

• C．y=sin2x+

  4

  sin2x

  的最小值是4
• D．y=2-3x-

  4

  x

  (x＜0)的最小值是2-4

  3

Answer 1

分析：①由y=x+

1

x

，知x＞0時(shí)y≥2，x＜0時(shí)y≤-2，判定A是否正確；
②x＞0時(shí)，3x+

4

x

≥2

3x• 4 x

=4

3

，知y的最大值是2-4

3

，判定B是否正確；
③由y=sin²x+

4

sin2x

≥2

sin2x• 4 sin2x

=4，“=”成立的條件是sinx=±

2

，判定C是否正確；
④x＜0時(shí)，-3x＞0，-

4

x

＞0，得-3x-

4

x

≥2

(-3x)•(- 4 x )

=4

3

，求出y的最小值，判定D是否正確；

解答：解：①∵y=x+

1

x

，當(dāng)x＞0時(shí)y=x+

1

x

≥2，當(dāng)x＜0時(shí)y=x+

1

x

≤-2；∴A不正確；
②∵y=2-3x-

4

x

=2-（3x+

4

x

），在x＞0時(shí)，3x+

4

x

≥2

3x• 4 x

=4

3

，當(dāng)且僅當(dāng)3x=

4

x

，即x=

2

3

時(shí)“=”成立，∴y的最大值是2-4

3

；∴B正確；
③∵y=sin²x+

4

sin2x

≥2

sin2x• 4 sin2x

=4，當(dāng)且僅當(dāng)sin²x=

4

sin2x

，即sin²x=2，sinx=±

2

時(shí)取“=”，sinx=±

2

不成立；∴C不正確；
④∵y=2-3x-

4

x

=2+（-3x-

4

x

），在x＜0時(shí)，-3x＞0，-

4

x

＞0，∴-3x-

4

x

≥2

(-3x)•(- 4 x )

=4

3

，當(dāng)且僅當(dāng)-3x=-

4

x

，即x=-

2

3

時(shí)“=”成立，∴y的最小值是2+4

3

；∴D不正確；
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式的應(yīng)用問(wèn)題，應(yīng)用基本不等式時(shí)要注意“=”成立的條件是什么．