Question

如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與過A（2，0），B（0，1）的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=

3

2

（1）求橢圓方程；
（2）設F₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點，M為線段AF₂的中點，求tan∠ATM．

Answer 1

分析：（1）直線AB方程與橢圓方程聯(lián)解，利用根的判別式算出a²+4b²-4=0．再由橢圓的離心率e=

3

2

，得a=2b，代入前面的式子可得a²=2且b²=

1

2

，從而得到橢圓方程；
（2）由（1）算出F₁、F₂的坐標，從而得到AF₂的中點M（1+

6

4

，0），聯(lián)解AB方程與橢圓方程得T（1，

1

2

）．
最后利用直線的斜率公式和兩角差的正切公式，即可得到tan∠ATM的值．

解答：解：（1）過點A、B的直線方程為：

x

2

+y=1，
∵直線AB與橢圓有唯一公共點，
∴將y=1-

1

2

x代入橢圓方程，化簡得
方程（b²+

1

4

a2）x²-a²x+a²-a²b²=0有惟一解，
∴△=a²b²（a²+4b²-4）=0（ab≠0），
故a²+4b²-4=0．
又∵橢圓的離心率e=

3

2

，
∴a=2b，代入上式可得a²=2，b²=

1

2

，
因此，所求的橢圓方程為

x2

2

+

y2

1 2

=1；
（2）由（1）得c=

a2-b2

=

6

2

，得F₁（-

6

2

，0），F(xiàn)₂（-

6

2

，0）
從而算出M（1+

6

4

，0）
將直線AB方程與橢圓方程聯(lián)解，可得T（1，

1

2

）．
∴tan∠AF₁T=

1 2 -0

1+ 6 2

=

6

2

-1，
又∵tan∠TAM=-

1 2 -0

1-2

=

1

2

，tan∠TMF₂=-

1 2 -0

1-(1+ 6 4 )

=

2

6

，
∴tan∠ATM=tan（∠TMF₂-∠TAM）=

2 6 - 1 2

1+ 2 6 • 1 2

=

6

2

-1．

點評：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的方程并求角的正切之值．主要考查了直線與橢圓的位置關系、橢圓的幾何性質(zhì)，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力，屬于中檔題．