Question

如圖，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD為矩形，ADEF為梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2，DE=1
（1）求證：CE∥面ABF；
（2）若二面角A-BF-D的平面角的余弦值為

1

3

，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由矩形的對(duì)邊平行，結(jié)合已知及面面平行的第二判定定理，可得面ABF∥面CDE，進(jìn)而由面面平行的性質(zhì)得到CE∥面ABF
（2）設(shè)AB=x，以F為原點(diǎn)，AF，EF所有直線分別為x，y軸建立空間坐標(biāo)系，分別求出平面ABF和平面BFD的法向量，結(jié)合二面角A-BF-D的平面角的余弦值為

1

3

，構(gòu)造關(guān)于x的方程，解方程可得AB的長(zhǎng)．

解答：證明：（1）∵ABCD為矩形，
∴AB∥CD，
又∵AF∥DE，AB，AF?面ABF，AB∩AF=A，CD，DE?面CDE
∴面ABF∥面CDE
又∵CE?面CDE
∴CE∥面ABF；
（2）設(shè)AB=x，以F為原點(diǎn)，AF，EF所有直線分別為x，y軸建立空間坐標(biāo)系，
∵AF=AD=2，DE=1
則F（0，0，0），A（-2，0，0），D（-1，

3

，0），B（-2，0，x）
∴

DF

=（1，-

3

，0），

BF

=（2，0，-x）
∵EF⊥平面ABF，
∴

n

=（0，1，0）為平面ABF的一個(gè)法向量
設(shè)

m

=（a，b，c）為平面BFD的一個(gè)法向量，則

m • DF =0 m • BF =0

，即

a- 3 b=0 2a-xc=0

令b=1，則

m

=（

3

，1，

2 3

x

）
∵cos＜

m

，

n

＞=

1

3

解得x=

2

5

15

∴AB=

2

5

15

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，二面角的求法，熟練掌握空間線面關(guān)系判定的方法和步驟是解答（1）的關(guān)鍵．建立空間坐標(biāo)系將二面角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題是解答（2）的關(guān)鍵．