已知函數(shù)f(x)=x2+(x-1)|x-a|.
(1)若a=-1,解方程f(x)=1;
(2)若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)是否存在實(shí)數(shù)a,使不等式f(x)≥2x-3對(duì)一切實(shí)數(shù)x∈R恒成立?若存在,求出a的取值范圍,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)把a(bǔ)=-1代入函數(shù)解析式,分段后分段求解方程f(x)=1的解集,取并集后得答案;
(2)分段寫出函數(shù)f(x)的解析式,由f(x)在R上單調(diào)遞增,則需第一段二次函數(shù)的對(duì)稱軸小于等于a,第二段一次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)大于0,且第二段函數(shù)的最大值小于等于第一段函數(shù)的最小值,聯(lián)立不等式組后求解a的取值范圍;
(3)把不等式f(x)≥2x-3對(duì)一切實(shí)數(shù)x∈R恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=f(x)-(2x-3)≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)x∈R恒成立.然后對(duì)a進(jìn)行分類討論,利用函數(shù)單調(diào)性求得a的范圍,取并集后得答案.
解答:解:(1)當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=x2+(x-1)|x+1|,
故有f(x)=
2x2-1, x≥-1
1, x<-1
,
當(dāng)x≥-1時(shí),由f(x)=1,有2x2-1=1,
解得x=1或x=-1.
當(dāng)x<-1時(shí),f(x)=1恒成立.
∴方程的解集為{x|x≤-1或x=1};
(2)f(x)=
2x2-(a+1)x+a,  x≥a
(a+1)x-a,x<a
,
若f(x)在R上單調(diào)遞增,則有
a+1
4
≤a
a+1>0
,
解得,a≥
1
3

∴當(dāng)a≥
1
3
時(shí),f(x)在R上單調(diào)遞增;
(3)設(shè)g(x)=f(x)-(2x-3),
g(x)=
2x2-(a+3)x+a+3,x≥a
(a-1)x-a+3,  x<a

不等式f(x)≥2x-3對(duì)一切實(shí)數(shù)x∈R恒成立,等價(jià)于不等式g(x)≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)x∈R恒成立.
①若a>1,則1-a<0,即
2
1-a
<0
,取x0=
2
1-a
,
此時(shí)x0∈(-∞,a),g(x0)=g(
2
1-a
)=(a-1)•
2
1-a
-a+3=1-a<0

即對(duì)任意的a>1,總能找到x0=
2
1-a
,使得g(x0)<0,
∴不存在a>1,使得g(x)≥0恒成立. 
②若a=1,g(x)=
2x2-4x+4, x≥1
2, x<1
,g(x)值域[2,+∞),
∴g(x)≥0恒成立.
③若a<1,
當(dāng)x∈(-∞,a)時(shí),g(x)單調(diào)遞減,其值域?yàn)椋╝2-2a+3,+∞),
由于a2-2a+3=(a-1)2+2≥2,
∴g(x)≥0成立.
當(dāng)x∈[a,+∞)時(shí),由a<1,知a<
a+3
4
,g(x)在x=
a+3
4
處取最小值,
g(
a+3
4
)=a+3-
(a+3)2
8
≥0
,得-3≤a≤5,
又a<1,∴-3≤a<1.
綜上,a∈[-3,1].
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)恒成立問題,考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,考查了分離變量法,訓(xùn)練了利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍,屬難度較大的題目.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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