Question

5．為了研究某學(xué)科成績(jī)是否在學(xué)生性別有關(guān)，采用分層抽樣的方法，從高三年級(jí)抽取了30名男生和20名女生的該學(xué)科成績(jī)，得到如下所示男生成績(jī)的頻率分布直方圖和女生成績(jī)的莖葉圖，規(guī)定80分以上為優(yōu)分（含80分）

（Ⅰ）求男生和女生的平均成績(jī)
（Ⅱ）請(qǐng)根據(jù)圖示，將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)此列聯(lián)表判斷，能否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)10%的前提下認(rèn)為“該學(xué)科成績(jī)與性別有關(guān)”？

	優(yōu)分	非優(yōu)分	合計(jì)
男生
女生
合計(jì)			50

（Ⅲ）用分層抽樣的方法從男生和女生中抽取5人進(jìn)行學(xué)習(xí)問(wèn)卷調(diào)查，并從5人中選取兩名學(xué)生對(duì)該學(xué)科進(jìn)行考后重測(cè)，求至少有一名女生的概率
參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k2）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001
k0	0.46	0.71	1.32	2.07	2.71	3.84	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)平均數(shù)的定義分別求出男生和女生的平均成績(jī)即可；
（Ⅱ）將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，求出k的值，比較即可；
（Ⅲ）通過(guò)分層抽樣的方法抽取男生$\frac{30}{50}$×5=3（人），記為a，b，c，女生$\frac{20}{50}$×5=2，記為：1，2，求出滿足條件的概率即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)男生和女生的平均成績(jī)分別是$\overline{{x}_{1}}$，$\overline{{x}_{2}}$，
則${\overline{x}}_{1}$=45×0.1+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.2+95×0.1=72，
${\overline{x}}_{2}$=$\frac{1}{20}$[40+50×2+60×2+70×4+80×7+90×4+（4+3+5+19+32+4）]=76.35；
（Ⅱ）請(qǐng)根據(jù)圖示，將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，如圖示：

	優(yōu)分	非優(yōu)分	總計(jì)
男生	9	21	30
女生	11	9	20
總計(jì)	20	30	50

假設(shè)H₀：該學(xué)科成績(jī)與性別無(wú)關(guān)，
K²的觀測(cè)值k=$\frac{5{0（9×9-11×21）}^{2}}{20×30×20×30}$=3.125，
∵3.125＞2.71，
∴在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)10%的前提下認(rèn)為“該學(xué)科成績(jī)與性別有關(guān)”；
（Ⅲ）分層抽樣的方法抽取男生$\frac{30}{50}$×5=3（人），記為a，b，c，
女生$\frac{20}{50}$×5=2，記為：1，2，
從5人中選取兩名學(xué)生共有：
（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（b，c），（b，1），（b，2），
（c，1），（c，2），（1，2）共10個(gè)結(jié)果，
其中至少1名女生共7個(gè)結(jié)果，
故滿足條件的概率是p=$\frac{7}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題，考查考查分層抽樣以及概率的計(jì)算，是一道中檔題．