Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=

3

2

，前n項(xiàng)和為S_n，且滿足2a_n+1+S_n=3（n∈N^*）
（Ⅰ）求a₂及a_n；
（Ⅱ）求滿足

34

33

＜

S2n

Sn

＜

8

7

的所有n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，令n=1，即可求a₂，構(gòu)造方程組里有作差法，構(gòu)造等比數(shù)列即可求a_n；
（Ⅱ）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求出S_n，然后代入不等式，解不等式即可．

解答： 解：（Ⅰ）由2a_n+1+S_n=3，得2a₂+a₁=3，
又a₁=

3

2

，
∴a₂=

1

2

（3-

3

2

）=

3

4

．
由2a_n+1+S_n=3，2a_n+S_n-1=3（n≥2）相減，
得

an+1

an

=

1

2

，
∵

a2

a1

=

1

2

，
∴數(shù)列{a_n}是以

3

2

為首項(xiàng)，
以

1

2

為公比的等比數(shù)列．
因此a_n=

3

2

（

1

2

）^n-1=3×（

1

2

）ⁿ（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵2a_n+1+S_n=3，
∴S_n=3-2a_n+1=3-3×（

1

2

）ⁿ，
則由

34

33

＜

S2n

Sn

＜

8

7

得

34

33

＜

3-3( 1 2 )2n

3-3( 1 2 )n

＜

8

7

，
即

34

33

＜1+（

1

2

）ⁿ＜

8

7

，
即

1

33

＜（

1

2

）ⁿ＜

1

7

∴n=3，4，5．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義求出通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵．