Question

1．已知復數(shù)z₁=2sinθ-$\sqrt{3}$i，z₂=1+（2cosθ）i，i為虛數(shù)單位，θ∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]．
（1）若z₁•z₂為實數(shù)，求sec2θ的值；
（2）若復數(shù)z₁，z₂對應的向量分別是$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，存在θ使等式（λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$）=0成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用復數(shù)的乘法化簡復數(shù)，通過復數(shù)是實數(shù)求出θ，然后求解即可．
（2）化簡復數(shù)z₁，z₂對應的向量分別是$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，然后利用向量的數(shù)量積求解即可．

解答 解：復數(shù)z₁=2sinθ-$\sqrt{3}$i，z₂=1+（2cosθ）i，i為虛數(shù)單位，θ∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]．
（1）z₁•z₂=2sinθ+2$\sqrt{3}$cosθ+（4sinθcosθ-$\sqrt{3}$）i，
z₁•z₂為實數(shù)，可得4sinθcosθ-$\sqrt{3}$=0，sin2θ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得θ=$\frac{π}{3}$．
sec2θ=$\frac{1}{cos2θ}$=-2．
（2）復數(shù)z₁=2sinθ-$\sqrt{3}$i，z₂=1+（2cosθ）i，
復數(shù)z₁，z₂對應的向量分別是$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，
$\overrightarrow{a}$=（2sinθ，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow$=（1，2cosθ），（λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$）=0，
∵$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow$²=（2sinθ）²+（-$\sqrt{3}$）²+1+（2cosθ）²=8，
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=（2sinθ，-$\sqrt{3}$）•（1，2cosθ）=2sinθ-2$\sqrt{3}$cosθ，
∴（λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$）=λ（$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow$²）-（1+λ2）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$
=8λ-（1+λ²）（2sinθ-2$\sqrt{3}$cosθ）=0，
化為sin（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{2λ}{1+{λ}^{2}}$，
∵θ∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，∴（θ-$\frac{π}{3}$）∈[0，$\frac{π}{6}$]，∴sin（θ-$\frac{π}{3}$）∈[0，$\frac{1}{2}$]．
∴0≤$\frac{2λ}{1+{λ}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$，解得λ≥$2+\sqrt{3}$或λ≤2-$\sqrt{3}$．
實數(shù)λ的取值范圍是（-∞，2-$\sqrt{3}$]∪[2+$\sqrt{3}$，+∞）．

點評 熟練掌握z₁•z₂∈R?虛部=0、復數(shù)的幾何意義、向量的數(shù)量積、一元二次不等式的解法是解題的關鍵