Question

9．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=4a_n-1-1（n≥2，n∈N^*），且a₁=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）已知b_n=a_n-2，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）a_n=4a_n-1-1（n≥2，n∈N^*），化為：a_n+1-$\frac{1}{3}$=4$（{a}_{n-1}-\frac{1}{3}）$，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）a_n=4a_n-1-1（n≥2，n∈N^*），化為：a_n+1-$\frac{1}{3}$=4$（{a}_{n-1}-\frac{1}{3}）$，
∴數(shù)列$\{{a}_{n}-\frac{1}{3}\}$是等比數(shù)列，首項為$\frac{2}{3}$，公比為4．
∴a_n=$\frac{2}{3}$×4^n-1+$\frac{1}{3}$．
（2）b_n=a_n-2=$\frac{2}{3}$×4^n-1-$\frac{5}{3}$．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=$\frac{2}{3}×\frac{{4}^{n}-1}{4-1}$-$\frac{5}{3}$n=$\frac{2（{4}^{n}-1）}{9}$-$\frac{5}{3}$n．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．