Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對任意實(shí)數(shù)m，n，總有f（m+n）=f（m）•f（n），且當(dāng)x＞0時，0＜f（x）＜1．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（3）如果f（-1）=2，求不等式f（

10

1-x

）＜

4

f(x)

的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,其他不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令m=1，n=0，得出f（1）=f（1）•f（0 ），再結(jié)合當(dāng)x＞0時，0＜f（x）＜1．得出f（0）=1
（2）設(shè)x₁＞x₂，由已知得出f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂ ）•f（x₂），且能得出0＜f（x₁-x₂）＜1，確定出f（x₁）＜f（x₂）后即可判斷出函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減．
（3）由函數(shù)的單調(diào)性得出不等式，解得即可．

解答： 解：（1）：（1）令m=1，n=0則f（1）=f（1）•f（0）又0＜f（1）＜1∴f（0）=1
（2）函數(shù)為增函數(shù)，
理由如下：設(shè)x₂＞x₁則x₂-x₁＞0，
∵當(dāng)x＞0時，0＜f（x）＜1．
∴0＜f（x₂-x₁）＜1，
∴f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）•f（x₂-x₁）＜f（x₁）
∴函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)
所以，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減．
（3）令m=-1，n=-1則f（-2）=f（-1）•f（-1），
∴f（-2）=4，
∵f（

10

1-x

）＜

4

f(x)

，
∴f（x）•f（

10

1-x

）＜4，
∴f（x+

10

1-x

）＜f（-2），
又函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)，
∴x+

10

1-x

＞-2，
解得-4＜x＜1，或x＞3，
故原不等式的解集為（-4，1）∪（3，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查了抽象函數(shù)表達(dá)式反映函數(shù)性質(zhì)及抽象函數(shù)表達(dá)式的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的定義及其證明，利用函數(shù)性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性解不等式的方法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法