Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn)，OP⊥底面ABC．
（Ⅰ）求證：OD∥平面PAB；
（Ⅱ）當(dāng)k=

1

2

時(shí)，求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（Ⅲ）當(dāng)k取何值時(shí)，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心？
（注：若△ABC的三點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁，z₁），B（x₂，y₂，z₂），C（x₃，y₃，z₃），則該三角形的重心坐標(biāo)為：(

x1+x2+x3

3

，

y1+y2+y3

3

，

z1+z2+z3

3

)．）

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理即可證明；
（Ⅱ）利用線面角公式sinθ=|cos＜

n

，

PA

＞|=

| n • PA |

| n | | PA |

即可得出；
（Ⅲ）不妨設(shè)OB=2，則分別表示出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，再利用AB=BC=2

2

=kPA即可表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用重心的定義即可得出△PBC的重心G的坐標(biāo)，若滿足O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心，則OG⊥平面PBC，利用向量的數(shù)量積與垂直的關(guān)系即可得出k的值．

解答：（Ⅰ）證明：∵點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn)，∴OD∥PA．
又∵OD?平面PAB，PA?平面PAB，
∴OD∥平面PAB．
（Ⅱ）如圖所示距離空間直角坐標(biāo)系．
當(dāng)k=

1

2

時(shí)，不妨設(shè)OB=2，則OA=OC=2，AB=2

2

，∴AP=4

2

，
∴OP=

(4 2 )2-22

=2

7

．
∴A（0，-2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2

7

），
∴

PA

=(0，-2，-2

7

)，

BC

=(-2，2，0)，

PB

=(2，0，-2

7

)．
設(shè)平面PBC的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • BC =0 n • PB =0

即

-2x+2y=0 2x-2 7 z=0

令z=1，則x=

7

=y．∴

n

=(

7

，

7

，1)．
設(shè)直線PA與平面PBC所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

n

，

PA

＞|=

| n • PA |

| n | | PA |

=

210

30

．
∴直線PA與平面PBC所成角的正弦值為

210

30

．
（Ⅲ）不妨設(shè)OB=2，則AO=OC=2，AB=BC=2

2

=kPA，∴AP=

2 2

k

，可得OP=

( 2 2 k )2-22

=

2 2-k2

k

．
∴A（0，-2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，

2 2-k2

k

），

BC

=(-2，2，0)，

PB

=(2，0，-

2 2-k2

k

)．
設(shè)G（x，y，z）為△PBC的重心，則G(

2

3

，

2

3

，

2 2-k2

3k

)．
假設(shè)點(diǎn)O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心，則OG⊥平面PBC．
∴

OG • BC =0 OG • PB =0

，即

-4 3 + 4 3 =0 4 3 - 8-4k2 3k2 =0

，又k＞0，解得k=1．
∴當(dāng)k=1時(shí)，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握三角形的中位線定理和線面平行的判定定理、線面角公式sinθ=|cos＜

n

，

PA

＞|=

| n • PA |

| n | | PA |

、通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系及重心的定義即可得出△PBC的重心G的坐標(biāo)、線面垂直的性質(zhì)定理、向量的數(shù)量積與垂直的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．