(2011•江西模擬)設a∈R,f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2(
π
2
-x)
滿足f(-
π
3
)=f(0)

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)設△ABC三內(nèi)角A,B,C所對邊分別為a,b,c且
a2+c2-b2
a2+b2-c2
=
c
2a-c
,求f(x)在(0,B]上的值域.
分析:(Ⅰ)通過二倍角公式,以及f(-
π
3
)=f(0)
,求出a的值,利用兩角差的正弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達式,通過正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)利用余弦定理化簡
a2+c2-b2
a2+b2-c2
=
c
2a-c
,通過正弦定理求出cosB=
1
2
,推出B的值,然后求f(x)在(0,B]上的值域.
解答:解:(Ⅰ)f(x)=asinxcosx-cos2x+sin2x=
a
2
sin2x-cos2x

f(-
π
3
)=f(0)
-
3
2
a
2
+
1
2
=-1
,解得a=2
3

因此f(x)=
3
sin2x-cos2x=2sin(2x-
π
6
)

-
π
2
+2kπ≤2x-
π
6
π
2
+2kπ,k∈Z

-
π
6
+kπ≤x≤
π
3
+kπ,k∈Z

故函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間[-
π
6
+kπ,
π
3
+kπ](k∈Z)
(6分)
(Ⅱ)由余弦定理知:
a2+c2-b2
a2+b2-c2
=
2accosB
2abcosC
=
ccosB
bcosC
=
c
2a-c

即2acosB-ccosB=bcosC,
又由正弦定理知:2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA
cosB=
1
2
,所以B=
π
3

x∈(0,
π
3
]
時,2x-
π
6
∈(-
π
6
,
π
2
]
,f(x)∈(-1,2]
故f(x)在(0,B]上的值域為(-1,2](12分)
點評:本題考查余弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性,正弦定理個應用,考查轉(zhuǎn)化思想與計算能力.
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(2011•江西模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若a2-b2=
3
bc
,sinC=2
3
sinB
,則A=( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•江西模擬)已知數(shù)列{an},{bn}分別是等差、等比數(shù)列,且a1=b1=1,a2=b2,a4=b3≠b4
①求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
②設Sn為數(shù)列{an}的前n項和,求{
1
Sn
}的前n項和Tn;
③設Cn=
anbn
Sn+1
(n∈N),Rn=C1+C2+…+Cn,求Rn

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•江西模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=
2an
an+2
(n∈N*),a2011=
1
2011

(1)求{an}的通項公式;
(2)若bn=
4
an
-4023
cn=
b
2
n+1
+
b
2
n
2bn+1bn
(n∈N*)
,求證:c1+c2+…+cn<n+1.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•江西模擬)已知函數(shù)f(x)=ax-lnx+1(a∈R),g(x)=xe1-x
(1)求函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,e]上的值域;
(2)是否存在實數(shù)a,對任意給定的x0∈(0,e],在區(qū)間[1,e]上都存在兩個不同的xi(i=1,2),使得f(xi)=g(x0)成立.若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請說明理由.
(3)給出如下定義:對于函數(shù)y=F(x)圖象上任意不同的兩點A(x1,y1),B(x2,y2),如果對于函數(shù)y=F(x)圖象上的點M(x0,y0)(其中x0=
x1+x22
)
總能使得F(x1)-F(x2)=F'(x0)(x1-x2)成立,則稱函數(shù)具備性質(zhì)“L”,試判斷函數(shù)f(x)是不是具備性質(zhì)“L”,并說明理由.

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