(2011•江西模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=
2an
an+2
(n∈N*),a2011=
1
2011

(1)求{an}的通項公式;
(2)若bn=
4
an
-4023
cn=
b
2
n+1
+
b
2
n
2bn+1bn
(n∈N*)
,求證:c1+c2+…+cn<n+1.
分析:(1)由已知,得
1
an+1
-
1
an
=
1
2
 (n∈N*)
,從而數(shù)列{
1
an
}
是以
1
a1
為首項,
1
2
為公差的等差數(shù)列,然后表示出{an}的通項公式,根據(jù)a2011=
1
2011
可求出a1,從而求出{an}的通項公式;
(2)將an=
2
n+2011
代入可得bn=4×
n+2011
2
-4023=2n-1
然后求出cn,然后計算c1+c2+…+cn-n,經(jīng)過化簡可證得結(jié)論.
解答:解:(1)由已知,得
1
an+1
=
1
2
+
1
an
,即
1
an+1
-
1
an
=
1
2
 (n∈N*)
,
∴數(shù)列{
1
an
}
是以
1
a1
為首項,
1
2
為公差的等差數(shù)列.
1
an
=
1
a1
+(n-1)×
1
2
=
(n-1)a1+2
2a1
,
an=
2a1
(n-1)a1+2
…(4分)
又因為a2011=
2a1
2010a1+2
=
1
2011

解得a1=
1
1006

an=
1
1006
(n-1)×
1
1006
+2
=
2
n+2011
…(6分)
(2)證明:∵an=
2
n+2011
,
bn=4×
n+2011
2
-4023=2n-1
-------(7分)
cn=
b
2
n+1
+
b
2
n
2bn+1bn
=
(2n+1)2+(2n-1)2
2(2n+1)(2n-1)
=
4n2+1
4n2-1
=1+
2
(2n-1)(2n+1)
=1+
1
2n-1
-
1
2n+1

c1+c2+…cn-n=(1+1-
1
3
)+(1+
1
3
-
1
5
)+…+(1+
1
2n-1
-
1
2n+1
)-n=1-
1
2n+1
<1

故c1+c2+…+cn<n+1…(12分)
點評:本題主要考查了構(gòu)造新數(shù)列,以及等差數(shù)列的通項公式和數(shù)列的裂項求和法,同時考查了計算能力,屬于中檔題.
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•江西模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若a2-b2=
3
bc
,sinC=2
3
sinB
,則A=( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•江西模擬)已知數(shù)列{an},{bn}分別是等差、等比數(shù)列,且a1=b1=1,a2=b2,a4=b3≠b4
①求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
②設Sn為數(shù)列{an}的前n項和,求{
1
Sn
}的前n項和Tn;
③設Cn=
anbn
Sn+1
(n∈N),Rn=C1+C2+…+Cn,求Rn

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•江西模擬)已知函數(shù)f(x)=ax-lnx+1(a∈R),g(x)=xe1-x
(1)求函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,e]上的值域;
(2)是否存在實數(shù)a,對任意給定的x0∈(0,e],在區(qū)間[1,e]上都存在兩個不同的xi(i=1,2),使得f(xi)=g(x0)成立.若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請說明理由.
(3)給出如下定義:對于函數(shù)y=F(x)圖象上任意不同的兩點A(x1,y1),B(x2,y2),如果對于函數(shù)y=F(x)圖象上的點M(x0,y0)(其中x0=
x1+x22
)
總能使得F(x1)-F(x2)=F'(x0)(x1-x2)成立,則稱函數(shù)具備性質(zhì)“L”,試判斷函數(shù)f(x)是不是具備性質(zhì)“L”,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•江西模擬)設a∈R,f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2(
π
2
-x)
滿足f(-
π
3
)=f(0)
,
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)設△ABC三內(nèi)角A,B,C所對邊分別為a,b,c且
a2+c2-b2
a2+b2-c2
=
c
2a-c
,求f(x)在(0,B]上的值域.

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