Question

13．已知${（x+1）^n}={a_0}+{a_1}（x-1）+{a_2}{（x-1）^2}+…+{a_n}{（x-1）^n}$，（其中n∈N^*）
（1）求a₀及s_n=a₁+a₂+…+a_n；
（2）試比較s_n與（n-2）•2ⁿ+2n²的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過對(duì)x取1，2求出a₀及S_n ．
（2）先通過不完全歸納猜出兩者的大小，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．注意三歩：第一步證基礎(chǔ)第二步證遞推關(guān)系第三歩總結(jié)．

解答 解：（1）∵已知${（x+1）^n}={a_0}+{a_1}（x-1）+{a_2}{（x-1）^2}+…+{a_n}{（x-1）^n}$=[2+（x-1）]ⁿ，（其中n∈N^*）
${a_0}={2^n}$，∴再令x=2可得 ${s_n}={a_1}+{a_2}+…{a_n}={3^n}-{2^n}$．
（2）要比較S_n與（n-2）2ⁿ+2n²的大小，即比較：3ⁿ與（n-1）2ⁿ+2n²的大小，
當(dāng)n=1時(shí)，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²；
當(dāng)n=2，3時(shí)，3ⁿ＜（n-1）2ⁿ+2n²；
當(dāng)n=4，5時(shí)，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²；
猜想：當(dāng)n≥4時(shí)，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
由上述過程可知，n=4時(shí)結(jié)論成立，
假設(shè)當(dāng)n=k，（k≥4）時(shí)結(jié)論成立，即3^k＞（k-1）2^k+2k²，
兩邊同乘以3得：3^k+1＞3[（k-1）2^k+2k²]=k2^k+1+2（k+1）²+[（k-3）2^k+4k²-4k-2]
而（k-3）2^k+4k²-4k-2=（k-3）2^k+4（k²-k-2）+6=（k-3）2^k+4（k-2）（k+1）+6＞0
∴3^k+1＞（（k+1）-1）2^k+1+2（k+1）²
即n=k+1時(shí)結(jié)論也成立，故當(dāng)n≥4時(shí)，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²成立．
綜上得，
當(dāng)n=1時(shí)，S_n＞（n-2）2ⁿ+2n²；
當(dāng)n=2，3時(shí)，S_n＜（n-2）2ⁿ+2n²；
當(dāng)n≥4，n∈N^*時(shí)，S_n＞（n-2）2ⁿ+2n² ．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，屬于中檔題．