Question

11．已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，a₁=$\frac{1}{2}$，2S_n+1=S_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$（n∈N^*）．根據(jù)上述條件可歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為a_n=$\frac{2-n}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 在數(shù)列{a_n}中，前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=$\frac{1}{2}$，2S_n+1=S_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$（n∈N^*），可得S₁；S₂；可以猜想：S_n，即可猜想此數(shù)列的通項(xiàng)公式．．

解答 解：在數(shù)列{a_n}中，前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=$\frac{1}{2}$，2S_n+1=S_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$（n∈N^*），
∴2S₂=1，∴S₂=$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{4}$，
2S₃=S₂+$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，∴S₃=$\frac{3}{8}$；
…于是猜想：S_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∴猜想此數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=S_n-S_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$-$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{2-n}{{2}^{n}}$．
故答案為：$\frac{2-n}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了用遞推公式，通過歸納推理，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，需要有一定的計(jì)算能力和歸納猜想能力．