Question

1．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象過點（0，$\frac{1}{2}$），對任意的x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），且|x₂-x₁|的最小值為$\frac{π}{2}$．
（1）求f（$\frac{π}{12}$）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知可得T=π，進而可得ω=2，將（0，$\frac{1}{2}$）代入結(jié)合0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可得φ值，進而將x=$\frac{π}{12}$代入可得答案；
（2）由2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z求得x的范圍，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：（1）∵對任意的x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），且|x₂-x₁|的最小值為$\frac{π}{2}$．
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，即T=π，
∵ω＞0，
∴ω=2；
又∵函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）的圖象過點（0，$\frac{1}{2}$），
∴sinφ=$\frac{1}{2}$，
又∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）
∴f（$\frac{π}{12}$）=sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（3）由2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：
x∈[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z，
即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z．

點評 本題考查的知識點是正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．