Question

3．如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面四邊形ABCD是直角梯形，其中AB⊥AD，AB=BC=1且AD=$\sqrt{2}$AA₁=2．
（1）求證：直線C₁D⊥平面ACD₁；
（2）試求三棱錐A₁-ACD₁的體積．
（3）求A₁C與平面ADD₁A₁所成角．

Answer 1

分析 （1）在梯形ABCD內(nèi)過C點作CE⊥AD交AD于點E，推導(dǎo)出AC⊥CD，AC⊥CC₁，從而AC⊥C₁D，又C₁D⊥CD₁，由此能證明C₁D⊥面ACD₁．
（2）三棱錐A₁-ACD₁與三棱錐C-AA₁D₁是相同的，由此利用等體積法能求出三棱錐A₁-ACD₁的體積．
（3）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出A₁C與平面ADD₁A₁所成角的大小．

解答 證明：（1）在梯形ABCD內(nèi)過C點作CE⊥AD交AD于點E，
則由底面四邊形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB=BC=1，
以及AD=$\sqrt{2}$AA₁=2．
∴CE=1，且AC=CD=$\sqrt{2}$=AA₁=CC₁，
∴AC⊥CD．
又由題意知CC₁⊥面ABCD，從而AC⊥CC₁，而CC₁∩CD=C，
∴AC⊥C₁D．
∵CD=CC₁，∴四邊形CDD₁C₁是正方形，∴C₁D⊥CD₁．
∵C₁D⊥CD₁，C₁D⊥AC，且AC∩CD₁=C，
∴C₁D⊥面ACD₁．
解：（2）∵三棱錐A₁-ACD₁與三棱錐C-AA₁D₁是相同的，故只需求三棱錐C-AA₁D₁的體積即可，
∵CE⊥AD，且AA₁⊥面ABCD，
∴CE⊥AA₁，又∵AD∩AA₁=A，
∴CE⊥平面ADD₁A₁，即CE為三棱錐C-AA₁D₁的高．
故三棱錐A₁-ACD₁的體積V=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×$AA₁×A₁D₁×CE=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2×1$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
（3）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A₁（0，0，$\sqrt{2}$），C（1，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（1，1，-$\sqrt{2}$），
設(shè)A₁C與平面ADD₁A₁所成角為θ，
∵平面ADD₁A₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
∴sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}C}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|1|}{\sqrt{4}•1}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=30°，
∴A₁C與平面ADD₁A₁所成角為30°．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查線面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．