Question

12．設(shè)平面向$\overline{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$，-1）．
（1）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，求tan（2x+$\frac{π}{4}$）的值；
（2）若x∈[0，π]，求|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$解出x，再計(jì)算tan（2x+$\frac{π}{4}$）的值；
（2）求出$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$的坐標(biāo)，計(jì)算（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）²，根據(jù)x的范圍利用三角函數(shù)的性質(zhì)得出|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|的取值范圍．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，即$\sqrt{3}$sinx-cosx=0，
∴tanx=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．∴x=$\frac{π}{6}+kπ$．
∴tan（2x+$\frac{π}{4}$）=tan（$\frac{7π}{12}$+2kπ）=tan$\frac{7π}{12}$=tan（$\frac{π}{3}+\frac{π}{4}$）=$\frac{tan\frac{π}{3}+tan\frac{π}{4}}{1-tan\frac{π}{3}tan\frac{π}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}$=-2-$\sqrt{3}$．
（2）$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$=（sinx-$\sqrt{3}$，cosx+1），
∴（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）²=（sinx-$\sqrt{3}$）²+（cosx+1）²=-2$\sqrt{3}$sinx+2cosx+5=4cos（x+$\frac{π}{3}$）+5．
∵x∈[0，π]，∴x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]．
∴當(dāng)x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$時(shí)，（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）²取得最大值7，當(dāng)x+$\frac{π}{3}$=π時(shí)，（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）²取得最小值1．
∴|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|的取值范圍是[1，$\sqrt{7}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．