Question

已知圓C：x²+y²一2x一2y+l=0，直線：y=kx，且與圓C交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)M（0，b）滿足MP⊥MQ．
（1）當(dāng)b=1時(shí)，求k的值；
（2）若k＞3，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心C的坐標(biāo)與半徑，由b=1確定出M的坐標(biāo)，由MP與MQ垂直得到直線l過(guò)圓心，將圓心坐標(biāo)代入y=kx即可求出k的值；
（2）將圓C的方程與直線l方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x₁+x₂與x₁x₂，由MP與MQ垂直，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式，將表示出x₁+x₂與x₁x₂代入，整理后得到b+

1

b

=

2k2+2k

1+k2

，設(shè)g（k）=

2k2+2k

1+k2

，求出g（k）的導(dǎo)函數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得到g（k）的單調(diào)區(qū)間，得到g（k）的范圍為b+

1

b

的范圍，變形后計(jì)算即可得到b的范圍．

解答：解：（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x-1）²+（y-1）²=1，
當(dāng)b=1時(shí)，點(diǎn)M（0，1）在圓上，
故當(dāng)且僅當(dāng)直線l過(guò)圓心C時(shí)滿足MP⊥MQ，
∵圓心坐標(biāo)為（1，1），
∴將x=1，y=1代入得：k=1；
（2）由

x2+y2-2x-2y+1=0 y=kx

，
消去y，可得（1+k²）x²-2（1+k）x+1=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

2(1+k)

1+k2

，x₁x₂=

1

1+k2

，
由MP⊥MQ，
得到

MP

•

MQ

=0，即x₁x₂+（y₁-b）（y₂-b）=0，
又y₁=kx₁，y₂=kx₂，
∴x₁x₂+（kx₁-b）（kx₂-b）=0，即（1+k²）x₁x₂-kb（x₁+x₂）+b²=0，
∴（1+k²）×

1

1+k2

-kb×

2(1+k)

1+k2

+b²=0，
當(dāng)b=0時(shí)，此式不成立，從而b+

1

b

=

2k2+2k

1+k2

，
令g（k）=

2k2+2k

1+k2

，則g′（k）=

(4k+2)(1+k2)-(2k2+2k)•2k

(1+k2)2

=

-2k2+4k+2

1+k2

，
設(shè)h（k）=-2k²+4k+2，此函數(shù)在（3，+∞）上單調(diào)遞減，即h（k）＜h（3）＜0，
故g′（k）在（3，+∞）上為負(fù)，
∴g（k）=

2k2+2k

1+k2

在（3，+∞）上單調(diào)遞減，即g（k）＜g（3）=

12

5

，
且g（k）-2=

2k2+2k

1+k2

-2=

2k-2

1+k2

＞0，
∴2＜b+

1

b

＜

12

5

，
則

6- 11

5

＜b＜

6+ 11

5

，且b≠1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，韋達(dá)定理，研究利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．