Question

函數(shù)f（x）=sinx+cosx，在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中對(duì)任意的n∈N^*都有f（a_n+x）=f（a_n-x）成立，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可以為（寫一個(gè)你認(rèn)為正確的）

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：f（x）=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，其對(duì)稱軸為：x+

π

4

=nπ-

π

2

，由各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中對(duì)任意的n∈N^*都有f（a_n+x）=f（a_n-x）成立，可知：x=a_n為其對(duì)稱軸．

解答： 解：∵f（x）=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，
其對(duì)稱軸為：x+

π

4

=nπ-

π

2

，解得x=(n-

3

4

)π（n∈N^*）．
由各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中對(duì)任意的n∈N^*都有f（a_n+x）=f（a_n-x）成立，
∴a_n=(n-

3

4

)π（n∈N^*）．
故答案為：an=(n-

3

4

)π，（N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．