Question

4．?dāng)?shù)列{x_n}滿足x₁=0，x_n+1=-x_n²+x_n+c（n∈N^*）
（1）證明：{x_n}是遞減數(shù)列的充分必要條件是c＜0；
（2）若數(shù)列{x_n}是遞增數(shù)列，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）充分性：若c＜0，由于x_n+1=-x_n²+x_n+c≤x_n+c＜x_n，即可證明；必要性：若{x_n}是遞減數(shù)列，則由x₂＜x₁，可得c＜0．
（2）由于數(shù)列{x_n}是遞增數(shù)列，可得x₁＜x₂＜x₃，解得0＜c＜1．由x_n＜x_n+1=-x_n²+x_n+c，可得：${x}_{n}＜\sqrt{c}$，又$\sqrt{c}$-x_n+1=x_n²-x_n-c+$\sqrt{c}$=$（1-\sqrt{c}-{x}_{n}）$$（\sqrt{c}-{x}_{n}）$，可得：x_n＜$1-\sqrt{c}$，還可得：$\sqrt{c}$-x_n+1≤$（1-\sqrt{c}）$$（\sqrt{c}-{x}_{n}）$，反復(fù)運(yùn)用可得：$\sqrt{c}-{x}_{n}$＜$（1-\sqrt{c}）^{n-1}$，可得x_n＜1-$\sqrt{c}$，和 $\sqrt{c}-{x}_{n}$＜$（1-\sqrt{c}）^{n-1}$，根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=$（1-\sqrt{c}）^{n}$的性質(zhì)即可得出．

解答 （1）證明：充分性：若c＜0，由于x_n+1=-x_n²+x_n+c≤x_n+c＜x_n，
∴{x_n}是遞減數(shù)列．
必要性：若{x_n}是遞減數(shù)列，則由x₂＜x₁，可得$-{x}_{1}^{2}+{x}_{1}$+c＜x₁，可得c＜0．
（2）解：∵x_n+1=-x_n²+x_n+c，
x₁=0，可得x₂=c，x₃=-c²+2c，
∵數(shù)列{x_n}是遞增數(shù)列，
∴x₁＜x₂＜x₃，可得：0＜c＜-c²+2c，解得0＜c＜1，
由x_n＜x_n+1=-x_n²+x_n+c，可得：${x}_{n}＜\sqrt{c}$，①
又$\sqrt{c}$-x_n+1=x_n²-x_n-c+$\sqrt{c}$=$（1-\sqrt{c}-{x}_{n}）$$（\sqrt{c}-{x}_{n}）$，②
由①②可得：x_n＜$1-\sqrt{c}$，
由②和x_n≥0還可得：$\sqrt{c}$-x_n+1≤$（1-\sqrt{c}）$$（\sqrt{c}-{x}_{n}）$，③
反復(fù)運(yùn)用③可得：$\sqrt{c}-{x}_{n}$≤$（1-\sqrt{c}）^{n-1}（\sqrt{c}-{x}_{1}）$＜$（1-\sqrt{c}）^{n-1}$，
∴x_n＜1-$\sqrt{c}$，和 $\sqrt{c}-{x}_{n}$＜$（1-\sqrt{c}）^{n-1}$，
∴2$\sqrt{c}$-1＜$（1-\sqrt{c}）^{n-1}$，對(duì)于n≥1成立．
根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=$（1-\sqrt{c}）^{n}$的性質(zhì)可得：$2\sqrt{c}$-1≤0，解得$0＜c≤\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的單調(diào)性、遞推關(guān)系的應(yīng)用、不等式的性質(zhì)、“迭乘法”、充要條件，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．