Question

已知函數(shù)f（x）=x³+2x²+x-4，g（x）=ax²+x-8（a＞2）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）極值；
（Ⅱ）若對任意的x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意，利用函數(shù)極值的概及求解過程即可；
（II）由題意若對任意的x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），可以轉(zhuǎn)化為構(gòu)造新函數(shù)，求新函數(shù)在定義域下的最值．
解答：解：（I）f′（x）=3x²+4x+1
令f′（x）=0解得x₁=-1或x₂=-
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下：

∴當x=-1時，f（x）取得極大值為-4
當x=時，f（x）取得極小值為；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=x³+（2-a）x²+4
∵F（x）≥0在[0，+∞）恒成立?F（x）_min≥0，
x∈[0，+∞） 且F′（x）=3x²+（4-2a）x
令{F^'}（x）=0，解得x=0，x=
∵a＞2，
∴當時，F(xiàn)'（x）＜0
當時，F(xiàn)'（x）＞0
∴當x∈（0，+∞）時，
即
解得a≤5，
∴2＜a≤5
當x=0時，F(xiàn)（x）=4成立
故綜上所述：實數(shù)a的取值范圍是a∈（2，5]．
點評：（I）此問考查了利用導函數(shù)求定義域下的極值，還考查了函數(shù)極值的求法及定義；
（II）此問重點考查了等價轉(zhuǎn)化的思想，把所求的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在定義域下求最值，令最小值還大于等于0這一思想．