Question

已知圓M過定點D（0，2），圓心M在二次曲線上運動．
（1）若圓M與y軸相切，求圓M方程；
（2）已知圓M的圓心M在第一象限，半徑為，動點Q（x，y）是圓M外一點，過點Q與 圓M相切的切線的長為3，求動點Q（x，y）的軌跡方程；
（3）若圓M與x軸交于A，B兩點，設|AD|=a，|BD|=b，求的取值范圍？

Answer 1

【答案】分析：（1）圓心M，半徑，由此能求出圓M方程．
（2）設圓心，則．由此得到圓M的方程為：（x-2）²+（y-1）²=5．設QP于圓M相切，切點為P，則|QM|²=|QP|²+|MP|²=14，由此能求出動點Q的軌跡方程．
（3）設圓心M（2m，m²），可知圓M方程為：（x-2m）²+（y-m²）²=4m²+（m²-2）²，取y=0，得x=2m±2，取A（2m+2，0），B（2m-2，0），則，由此能求出的取值范圍．
解答：解：（1）設圓心M（x，y），
∵圓M過定點D（0，2），且圓M與y軸相切，
∴直線MD⊥y軸，
∴，
∴y=2，
∵圓心M在二次曲線上運動，
∴M（x，2）在上，
∴2=，
解得x=，
∴圓心M，半徑=2，
∴圓M方程為：．…（4分）
（2）設圓心，
則
解得m=1，
所以圓M的方程為：（x-2）²+（y-1）²=5
設QP于圓M相切，切點為P，
則|QM|²=|QP|²+|MP|²=14
所以動點Q的軌跡方程是（x-2）²+（y-1）²=14…．（9分）
（3）設圓心M（2m，m²），
可知圓M方程為：（x-2m）²+（y-m²）²=4m²+（m²-2）²
取y=0得x=2m±2，
不妨取A（2m+2，0），B（2m-2，0），
則
若m≠0，
有，
則，
故所求的取值范圍為…..（14分）
點評：本題考查圓的方程的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．