Question

10．如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為AB和CD的中點(diǎn)，且AB=EF=2，CD=6，M為BC中點(diǎn)，現(xiàn)將梯形BEFC沿EF所在直線折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如圖2所示，N是CD上一點(diǎn)，且$CN=\frac{1}{2}ND$．
（Ⅰ）求證：MN∥平面ADFE；
（Ⅱ）求三棱錐F-AMN的體積．

Answer 1

分析 （I）取EF的中點(diǎn)P，連結(jié)MP，過點(diǎn)N作NQ∥CF交DF于點(diǎn)Q，連接PQ．利用中位線定理得出四邊形MPQN是平行四邊形，故MN∥PQ，于是MN∥平面ADFE；
（II）延長DA，F(xiàn)E，CB交于一點(diǎn)H，利用平行線等分線段成比例得出MN與DH的比值，得出△AMN與△CDH的面積比，則三棱錐F-AMN與三棱錐F-CDH的體積比等于其底面積的比．

解答 解：（Ⅰ）取EF的中點(diǎn)P，連結(jié)MP，過點(diǎn)N作NQ∥CF交DF于點(diǎn)Q，連接PQ．
則MP∥CE，$MP=\frac{BE+CF}{2}=2$．
$\frac{NQ}{CE}=\frac{DN}{CD}=\frac{2}{3}$，∴NQ=2，
∴MP$\stackrel{∥}{=}$NQ，
∴四邊形MPQN是平行四邊形
∴MN∥PQ，又PQ?平面ADFE，MN?平面ADFE，
∴MN∥平面ADFE．
（Ⅱ）延長DA，F(xiàn)E，CB交于一點(diǎn)H，
∵$\frac{BE}{BF}=\frac{AE}{DF}=\frac{1}{3}$，∴BE=$\frac{1}{2}EF=1$，
∴$\frac{FP}{FH}=\frac{1}{3}$，∵$\frac{FQ}{FD}=\frac{CN}{CD}=\frac{1}{3}$，∴PQ∥DH，且$\frac{PQ}{DH}=\frac{1}{3}$．
∵M(jìn)N=PQ，MN∥PQ，∴MN$\stackrel{∥}{=}\frac{1}{3}DH$．
∴$\frac{{S}_{△MNA}}{{S}_{△CDH}}$=$\frac{2}{9}$，∴$\frac{{V}_{F-AMN}}{{V}_{F-CDH}}=\frac{2}{9}$．
∵${V_{F-CDH}}={V_{C-FDH}}=\frac{1}{3}×3×\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$，
∴V_F-AMN=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，面面垂直的性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．