Question

15．如圖，在四面體ABCD中，CD=CB，AD⊥BD，點E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點．
（Ⅰ）求證：平面ABD⊥平面EFC；
（Ⅱ）當AD=CD=BD=1，且EF⊥CF時，求三棱錐C-ABD的體積．

Answer 1

分析 （I）由CB=CD得CF⊥BD，由AD⊥BD，AD∥EF得EF⊥BD，故BD⊥平面CEF，于是平面ABD⊥平面EFC；
（II）由CF⊥BD，CF⊥EF得CF⊥平面ABD，即CF為棱錐的高．底面為直角△ABD，代入體積公式計算即可．

解答 （Ⅰ）證明：∵E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點，∴EF∥AD，∵AD⊥BD，∴EF⊥BD，
∵CB=CD，F(xiàn)是BD的中點，∴CF⊥BD．
又∵CF∩EF=F，CF?平面CEF，EF?平面CEF，
∴BD⊥面EFC，∵BD?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面EFC．
（Ⅱ）解：∵CF⊥BD，EF⊥CF，EF∩BD=F，BD?平面ABD，EF?平面ABD，
∴CF⊥平面ABD，
∵CB=CD=BD=1，∴$CF=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∵AD=BD=1，AD⊥BD，∴${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}$，
∴${V_{C-ABD}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{12}$．

點評 本題考查了線面垂直，面面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．