Question

8．已知函數(shù)$f（x）=\frac{x-1}{x+1}$，x∈[1，3]
（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明．
（2）求函數(shù)的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）判斷出函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在閉區(qū)間的最值即可．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{x-1}{x+1}=\frac{x+1-2}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$．
設(shè)x₁，x₂是區(qū)間[1，3]上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$1-\frac{2}{{{x_1}+1}}-1+\frac{2}{{{x_2}+1}}$
=$\frac{2}{{{x_2}+1}}-\frac{2}{{{x_1}+1}}=\frac{{2（{x_1}+1）-2（{x_2}+1）}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}$
=$\frac{{2（{x_1}-{x_2}）}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}$．
由1≤x₁＜x₂≤3，得x₁-x₂＜0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，
于是f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）．
所以，函數(shù)$f（x）=\frac{x-1}{x+1}$是區(qū)間[1，3]上的增函數(shù)．
（2）由（1）得：函數(shù)$f（x）=\frac{x-1}{x+1}$在區(qū)間[1，3]的兩個(gè)端點(diǎn)處分別取得最小值與最大值，
即在x=1時(shí)取得最小值，最小值是0；在x=3時(shí)取得最大值，最大值是$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查函數(shù)單調(diào)性的證明，是一道中檔題．